Question

Три числа образуют геометрическую прогрессию если ко второму прибавить 9 то получится арифметичсекая прогрессия с разностью 15. Найти геометрическую прогрессию. Пж распишите)

Answer 1

пусть первое число геометрической прогресии x и знаменатель q, тогда:
$b_1=x \\b_2=xq \\b_3=xq^2$

для арифмитической прогресии:
$d=15 \\a_2=xq+9 \\a_1=a_2-d=xq+9-15=xq-6 \\a_3=a_2+d=xq+9+15=xq+24$

так как a1=b1 и a3=b3, то составляем систему:
$xq-6=x \\xq+24=xq^2$

учтем также, что
$q\neq 1$
решаем систему:
$xq-x=6 \\x(q-1)=6 \\x=\frac{6}{q-1} \\\frac{6q}{q-1}+24=\frac{6q^2}{q-1} \\6q+24q-24=6q^2 \\6q^2-30q+24=0 \\q^2-5q+4=0 \\D=25-16=9 \\q_1=\frac{5+3}{2}=4 \\q_2=\frac{5-3}{2}=1 \\x_1=\frac{6}{3}=2$

q2=1 - не подходит по условию
в итоге:
геометрическая прогрессия b, где:
$b_1=2 \\q=4$

формула n члена:
$b_n=b_1*q^{n-1}=2*4^{n-1}=2*2^{2n-2}=2^{2n-1}$