Question

Помогите, пожалуйста, с заданием по алгебре (10 класс)

нужно упростить тригонометрические выражения:

1) √1-sin²a (всё вырожение под корнем), если 3Пи/2<а<2Пи;

2)√1+ctg²a ( всё вырожение под корнем), если Пи<а< 3Пи/2;



а- альфа;

Пи - число Пи;

Заранее спасибо!

Answer 1

1) 1-sin²a = cos²a sin²a+cos²a. по основному тригонометрическому тождеству

следовательно √(1-sin²a)=√cos²a =| cos(a) |   (по модулю)

поскольку в данном интервале cos(a) положительный => модуль можно убрать.

ответ: cos(a)

2) ctg(a) = cos(a)/sin(a)

1 + ctg²(a) = 1 + cos²(a)/sin²(a) = (sin²a+cos²a)/sin²a = 1/sin²a (sin²a+cos²a =1

по основному тригонометрическому тождеству)

√1+ctg²a = √(1/sin²a) = | 1/sin(a) |

так как на данном промежутке sin(a) отрицательный => | 1/sin(a) | = - 1/sin(a)

ответ: -1/sin(a).

Answer 2

$1)\; \qquad \boxed {sin^2a+cos^2a=1}\quad \Rightarrow \; \; \; cos^2a=1-sin^2a\\\\\\\sqrt{1-sin^2a}=\sqrt{cos^2a}=|cosa|=cosa\\\\\Big [\; \frac{3\pi }{2}<a<2\pi \; \; \Rightarrow \; \; cosa>0\; \; \Rightarrow \; \; |cosa|=cosa\; \; \Big ]\\\\2)\; \qquad \boxed {1+ctg^2a=\frac{1}{sin^2a}}\\\\\\\sqrt{1+ctg^2a}=\sqrt{\frac{1}{sin^2a}}=\frac{1}{|sina|}=-\frac{1}{sina}\\\\\Big [\; \pi <a<\frac{3\pi }{2}\; \; \Rightarrow \; \; \; sina<0\; \; \Rightarrow \; \; sina=-sina\; \Big ]$