Question

найти предел функций, не пользуясь правилом Лопиталя
Даю 45 балов

Answer 1

а

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^3 + 1}{2x^3 + 1} =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^3(1 + 0)}{x^3(2 + 0)} = \frac{1}{2}$

б

$\lim\limits_{x \to 7} \frac{\sqrt{2 + x} - 3}{x - 7}, t = x - 7, x = t + 7\\\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 + t} - 3}{t} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{3(\sqrt{1 + \frac{t}{9}} - 1)}{t} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{3\frac{t}{18}}{t} = \frac{1}{6}$

в

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{3x \sin(3x)}{5x \cdot 3x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$

г

$\lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(\frac{2x - 1}{2x + 1}\Bigr)^{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(1 + \frac{-2}{2x + 1}\Bigr)^{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(\Bigl(\underbrace{\Bigl(1 + \frac{-2}{2x + 1}\Bigr)^\frac{2x + 1}{-2}}_{e}\Bigr)^\frac{-2}{2x + 1}\Bigr)^{x} = \lim\limits_{x \to \infty} e^\frac{-2x}{2x + 1} =\\= e^{-1}$