Question

5 задание помогите. Докажите,что значение выражения есть число рациональное

Answer 1

Ответ:

По определению, число называется рациональным, если представимо в виде $\tt \displaystyle \frac{p}{q}$ , где p∈Z и q∈N.

Упростим выражение:

$\tt \displaystyle \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}+1} -\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}-1} =\frac{2 \cdot \sqrt{3}-1}{(2 \cdot \sqrt{3}+1) \cdot (2 \cdot \sqrt{3}-1)}-\frac{2 \cdot \sqrt{3}+1}{(2 \cdot \sqrt{3}-1) \cdot (2 \cdot \sqrt{3}+1)}=\\\\=\frac{2 \cdot \sqrt{3}-1}{(2 \cdot \sqrt{3})^2-1^2}-\frac{2 \cdot \sqrt{3}+1}{(2 \cdot \sqrt{3})^2-1^2}=\frac{2 \cdot \sqrt{3}-1}{4 \cdot 3-1}-\frac{2 \cdot \sqrt{3}+1}{4 \cdot 3-1}=$

$\tt \displaystyle =\frac{2 \cdot \sqrt{3}-1}{12-1}-\frac{2 \cdot \sqrt{3}+1}{12-1}=\frac{2 \cdot \sqrt{3}-1}{11}-\frac{2 \cdot \sqrt{3}+1}{11}=\frac{2 \cdot \sqrt{3}-1-(2 \cdot \sqrt{3}+1)}{11}=$

$\tt \displaystyle =\frac{2 \cdot \sqrt{3}-1-2 \cdot \sqrt{3}-1}{11}=\frac{-2}{11}=-\frac{2}{11}.$

Положим p = -2∈Z и q = 11∈N и получим необходимое представление. Этим и доказано рациональность значение выражения.