Question

Помогите решить не равенство
Log x(x+2)>log2 4

Answer 1

Смотри.........,.........

Answer 2

Способ решения нестандартный:

$\log _{x}(x+2)>\log _{2}4 \\ \\ ODZ: \left\{\begin{gathered} x +2 > 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \\ \end{gathered} \right. \ \ \ ; \ \ x \in (0;1)\cup (1;+\infty)$

$\log_{x}(x+2) > 2$

$\log _{x}(x+2)> \log _{x}x^{2} \\ \\ \log _{x}(x+2)- \log _{x}x^{2} > 0$

По методу рационализации в силу строго монотонного возрастания функции y = logₐx, a > 1 и строго монотонного убывания функции y = logₐx, 0<a<1:

$\log_{a} f - \log _{a}g \ V \ 0 \ \Leftrightarrow \ (a-1)(f-g) \ V \ 0$

$(x-1)(x+2-x^{2}) > 0 \\ \\ (x-1)(x^{2}-x-2)<0$

Решим квадратное уравнение:

$x^{2}-x-2=0 \\ \\ D = 1 + 8 = 9 \\ \\ x_{1} = \dfrac{1+3}{2} = 2 \ ; \ x_{2} = \dfrac{1-3}{2} = -1$

$(x-1)(x+1)(x-2)<0 \ (1) \\ \\ x \in (-\infty; -1)\cup (1;2)$

С учётом ОДЗ: (2)

[tex]x \in (1;2)

Ответ: x ∈ (1; 2)