Question

Сумма n чисел равна 0, сумма их модулей равна a. Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.

Answer 1

Пусть это числа

$a_1\leqslant a_2\leqslant\dots\leqslant a_k\leqslant 0<a_{k+1}\leqslant a_{k+2}\leqslant\dots\leqslant a_n$

Заметим, что если сумма всех чисел равна 0, то сумма положительных чисел должна быть равна сумме неположительных, а суммы модулей равны:

$a_1+a_2+\dots+ a_k=-(a_{k+1}+\dots+a_n)\\|a_1|+|a_2|+\dots |a_k|=|a_{k+1}|+\dots+|a_n|$

Поскольку сумма модулей всех чисел равна a, то сумма модулей только положительных или только неположительных чисел равна a/2.

Оцениваем по принципу Дирихле:

$-a_1=|a_1|\geqslant \dfrac{|a_1|+\dots+|a_k|}{k}=\dfrac a{2k}\\a_n=|a_n|\geqslant \dfrac{|a_{k+1}|+\dots+|a_n|}{n-k}=\dfrac a{2(n-k)}$

Складываем и получаем

$a_n-a_1\geqslant\dfrac{a}{2k}+\dfrac{a}{2(n-k)}=\dfrac{an}{2k(n-k)}=\dfrac{a}{2n\cdot\frac kn(1-\frac kn)}$

Функция f(x) = x(1 - x) - квадратичная, принимает максимальное значение в вершине параболы, оно равно f(1/2) = 1/4. Тогда

$a_n-a_1\geqslant\dfrac{a}{2n\cdot\frac kn(1-\frac kn)}\geqslant\dfrac{a}{2n\cdot\frac14}=\dfrac{2a}n$