Question

Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.

Answer 1

Ответ:

$\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2-x+1}{5x^2+6x-2}=2$

$\lim_{x \to \-2} \frac{x^2-x-6}{x^2+7x+10}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3}$

Пошаговое объяснение:

Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль или бесконечность в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

если

$\lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x \to a} g(x)= \infty$

или

$\lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x \to a} g(x)= 0$

то

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2-x+1}{5x^2+6x-2}=\left [ \frac{\infty}{\infty}\right]= \lim_{x \to \infty}\frac{(10x^2-x+1)'}{(5x^2+6x-2)'}=$$\lim_{x \to \infty}\frac{20x-1}{10x+6}=\left [\frac{\infty}{\infty}\right] =$

$=\lim_{x \to \infty}\frac{(20x-1)'}{(10x+6)'}=\lim_{x \to \infty}\frac{20}{10}=2$

$\lim_{x \to \-2} \frac{x^2-x-6}{x^2+7x+10} = \left [ \frac{0}{0}\right]= \lim_{x \to \-2} \frac{(x^2-x-6)'}{(x^2+7x+10)'} =$

$=\lim_{x \to \-2} \frac{2x-1}{2x+7}=\frac{2\cdot(-2)-1}{2\cdot(-2)+7}=\frac{-5}{3}=-1\frac{2}{3}$