Question

Найти предел функций, не пользуясь правилом Лопиталя

Answer 1

$1)\; \lim\limits _{x \to -\infty}(x+\sqrt{1+x^2})=\lim\limits _{x \to -\infty}\frac{x^2-(1+x^2)}{x-\sqrt{1+x^2}}=\lim\limits _{x \to -\infty}\frac{-1}{x-\sqrt{1+x^2}}=\frac{-1}{-\infty }=+0\\\\2)\; \lim\limits _{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim\limits _{x \to 0}\; \frac{(1+x)-1}{x\cdot (\sqrt{1+x}+1)}=\lim\limits _{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}\\\\3)\; \lim\limits _{x \to 1}\frac{1-x^2}{sin\pi x}=\lim\limits _{x \to 1}\frac{1-x^2}{sin(\underbrace {\pi -\pi x}_{\to 0})}=\Big [\, sin\, \alpha (x)\sim \alpha (x),\; esli\; \alpha (x)\to 0\, \Big ]=$

$=\lim\limits _{x \to 1}\frac{(1-x)(1+x)}{\pi -\pi x}=\lim\limits _{x \to 1}\frac{(1-x)(1+x)}{\pi (1-x)}=\lim\limits _{x \to 1}\frac{1+x}{\pi }=\frac{2}{\pi }$

$4)\; \lim\limits _{x \to \infty}(\frac{2x+1}{2x})^{3x}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\Big (1+\frac{1}{2x}\Big )^{2x}\Big )^{\frac{3x}{2x}}=e^{\lim\limits _{x \to \infty}\frac{3x}{2x}}=e^{\frac{3}{2}}=\sqrt{e^3}$