Question

Решите, пожалуйста, задачу

Answer 1

Обозначим BC = a, AC = b, AB = c, AH = b1, BH = a1, CH = h. Пусть r, r1 и r2 — радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, AHC и BHC соответственно. Поскольку диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен сумме катетов без гипотенузы, то

r = $\displaystyle {\frac{a+b-c}{2}}$, r1 = $\displaystyle {\frac{h + b_{1} - b}{2}}$, r2 = $\displaystyle {\frac{h + a_{1} - a}{2}}$.

Следовательно,

r + r1 + r2 = $\displaystyle {\frac{a + b - c + h + b_{1} - b + h + a_{1} - a}{2}}$ =

= $\displaystyle {\frac{2h + a_{1} + b_{1} - c}{2}}$ = h.