Question

∛(5√2+7)- ∛(5√2-7) =
ответьте пожалуйста максимально подробно. спасибо заранее.

Answer 1

$x=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}$

$a=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}$

$b=\sqrt[3]{5\sqrt2-7}$

$x=a-b$

--------------------------

$a^3-b^3=\left(\sqrt[3]{5\sqrt2+7}\right)^3-\left(\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\right) ^3=$

$5\sqrt{2}+7-5\sqrt{7}+7=14$

$ab=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}\cdot \sqrt[3]{5\sqrt2+7}=$

$\sqrt[3]{(5\sqrt2+7)(5\sqrt2-7)}= \sqrt[3]{50-49}= \sqrt[3]{1}=1$

--------------------------

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$

$(a-b)^3=14-3\cdot 1(a-b)$

$(a-b)^3=14-3(a-b)$

$x=a-b$

$x^3=14-3x$

$x^3+3x-14=0$

$x^3-8+3x-6=0$

$(x-2)(x^2+2x+4)+3(x-2)=0$

$(x-2)(x^2+2x+4+3)=0$

$(x-2)(x^2+2x+7)=0$

$x-2=0 \Rightarrow x=2$

или

$x^2+2x+7=0$

$\Delta=1^2-4\cdot 2\cdot 7=1-56=-55<0$

Ответ:

$\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}=2$