Question

Числитель и знаменатель положительные дроби - натуральные числа. Если числитель увеличить на 3, а знаменатель - на 2, то значение дроби уменьшится. Приводите пример и покажите, как такое могло произойти.

Answer 1

Пусть была дробь $\dfrac xy$ , где $x,\! y\in \mathbb{N}$

Тогда новая дробь $\dfrac{x+3}{y+2}$

Раз новая дробь меньше старой, то разность

$\dfrac xy-\dfrac{x+3}{y+2} >0$

Преобразуем левую часть неравенства:

$\dfrac{x(y+2)-y(x+3)}{y(y+2)} =\dfrac{xy+2x-yx-3y}{y(y+2)} =\\\\=\dfrac{2x-3y}{y(y+2)}$

Получили, что $\dfrac{2x-3y}{y(y+2)} >0$

Пусть y=1, тогда y(y+2) = 1·3 = 3 > 0. Значит, 2x-3y > 0

2x-3·1 > 0

2x > 3

x > 1,5

Поскольку x - натуральное число, то x=2, к примеру.

Была дробь $\dfrac21$ стала $\dfrac{2+3}{1+2} =\dfrac53$

$\dfrac21 \;\overset{>}{V}\; \dfrac53;\qquad \dfrac63 >\dfrac53$

Ответ: 2/1.