Question

1) Учитель написал на доске дробь, в знаменателе которой стоит 73, а в числителе стоит сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел. Известно, что сумма трех меньших квадратов равна сумме двух наибольших квадратов. Чему равно значение дроби?
2)Про числа a и b известно, что a + $\frac{1}{b}$ = 5 и b+$\frac{1}{a}$ = 6 . Найдите значение выражения ab + $\frac{1}{ab}$ .
3) Какое наименьшее натуральное число доказывает истинность утверждения:
Не всякое число, не делящееся на 26, не делится на 13.

Answer 1

1) Пусть в числителе сумма квадратов чисел x, x+1, x+2, x+3, x+4.

По условию

$x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=(x+3)^2+(x+4)^2\\x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4=x^2+6x+9+x^2+8x+16\\3x^2+6x+5=2x^2+14x+25\\x^2-8x-20=0\\D=64-4\cdot1\cdot(-20)=64+80=144\\x_{1,2}=\frac{8\pm12}2\\x_1=10,\\x_2=-2$

Второй корень не подходит, т.к. числа натуральные.

Значит в числителе сумма квадратов чисел 10, 11, 12, 13 и 14. Сам дробь:

$\frac{100+121+144+169+196}{73}=\frac{730}{73}=10$

2)

$\left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1a\right)=5\cdot6\\\\ab+\frac aa+\frac bb+\frac1{ab}=30\\\\ab+\frac1{ab}+2=30\\\\ab+\frac1{ab}=28$

3) 13

Answer 2

Ответ:

1) 10

2) 28

3) 13

Пошаговое объяснение:

1) Пусть числитель состоит из суммы квадратов следующих пяти последовательных натуральных чисел:

n, n+1, n+2, n+3, n+4.

По условию сумма трех меньших квадратов равна сумме двух наибольших квадратов, то есть

n² + (n+1)² + (n+2)² = (n+3)² + (n+4)².

Раскроем скобки и упростим уравнение:

n² + n² + 2·n + 1 + n² + 4·n + 4 = n² + 6·n + 9 + n² + 8·n + 16

n² -  8·n - 20 = 0

Решаем последнее квадратное уравнение

D=(-8)² - 4 · 1 · (-20) = 64 + 80 = 144 = 12²

n₁ = (8 - 12)/(2·1) = -4/2 = -2 - не является натуральным числом, отпадает.

n₂ = (8 + 12)/(2·1) = 20/2 = 10

Значит, первое из пяти чисел - это 10. Определим сумму в числителе:

10² + (10+1)² + (10+2)² + (10+3)² + (10+4)² = 100 + 121 + 144 + 169 + 196 = 730.

Тогда значение дроби равно

730 / 73 = 10

2) Так как $a+\frac{1}{b}=5$ и $b+\frac{1}{a}=6$ , то

$(a+\frac{1}{b})*(b+\frac{1}{a})=5*6\\a*b+a*\frac{1}{a}+\frac{1}{b}*b+\frac{1}{a}*\frac{1}{b}=30\\a*b+1+1+\frac{1}{a*b}=30\\a*b+\frac{1}{a*b}=30-2\\a*b+\frac{1}{a*b}=28$

3) Утверждение "Всякое число, не делящееся на 26, не делится на 13" ложно, если число имеет вид 26·m+13, где m=0, 1, 2, ... (числа, кратные на 13, но не кратные на 26). Тогда, отрицание этого утверждения "Не всякое число, не делящееся на 26, не делится на 13" истинно для чисел имеющих вид 26·m+13. Наименьшее из них - это 13.