Question

Сторона квадрата увеличивается со скоростью V. Какова скорость изменения периметра и площади квадрата в тот момент, когда его сторона равна a.

Answer 1

• Дифференцирование сложной функции: Пусть $f(x)$ и $g(x)$ - дифференцируемые функции. Тогда производную сложной функции $f(g(x))$ можно найти по формуле $(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.
• Дифференцирование степенной функции: $(x^n)'=nx^{n-1}$
• Дифференцирование - линейная операция, т.е. для фиксированных b и c верно, что (bf(x) + cg(x))' = bf'(x) + cg'(x)

______________________________________________

Периметр можно найти по формуле P(L) = 4L (L - сторона квадрата). Тогда P'(L) = 4. Подставляем в формулу, учитывая, что L(t') = a, L'(t') = V:

$(P(L(t)))'|_{t=t'}=P'(L(t'))\cdot L'(t')=4\cdot V=4V$

Аналогично для площади: $S(L) = L^2$; $S'(L) = 2L$.

$(S(L(t)))'|_{t=t'}=S'(L(t'))\cdot L'(t')=2a\cdot V=2aV$