Question

Помогите, пожалуйста, найти производную.

Answer 1

Для дифференцирования функции вида $y=f(x)^{g(x)}$ применяется логарифмическое дифференцирование.

1.

$y=(\arcsin x)^{e^x}$

$\ln y=\ln(\arcsin x)^{e^x}$

$\ln y=e^x\ln\arcsin x$

$(\ln y)'=(e^x\ln\arcsin x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=(e^x)'\cdot\ln\arcsin x+e^x\cdot(\ln\arcsin x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=e^x\cdot\ln\arcsin x+e^x\cdot\dfrac{1}{\arcsin x} \cdot(\arcsin x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=e^x\cdot\ln\arcsin x+e^x\cdot\dfrac{1}{\arcsin x} \cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=e^x\left(\ln\arcsin x+\dfrac{1}{\arcsin x} \cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)$

$y'=y\cdot e^x\left(\ln\arcsin x+\dfrac{1}{\arcsin x} \cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)$

$y'=e^x(\arcsin x)^{e^x}\left(\ln\arcsin x+\dfrac{1}{\arcsin x} \cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)$

2.

$y=x^{\arcsin x}$

$\ln y=\ln x^{\arcsin x}$

$\ln y=\arcsin x\ln x$

$(\ln y)'=(\arcsin x\ln x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=(\arcsin x)'\cdot\ln x+\arcsin x\cdot(\ln x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2} } \cdot\ln x+\arcsin x\cdot\dfrac{1}{x}$

$y'=y\cdot\left(\dfrac{\ln x}{\sqrt{1-x^2} } +\dfrac{\arcsin x}{x} \right)$

$y'=x^{\arcsin x}\left(\dfrac{\ln x}{\sqrt{1-x^2} } +\dfrac{\arcsin x}{x} \right)$

3.

$y=(\sin x)^{5e^x}$

$\ln y=\ln(\sin x)^{5e^x}$

$\ln y=5e^x\ln\sin x$

$(\ln y)'=(5e^x\ln\sin x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=(5e^x)'\cdot\ln\sin x+5e^x\cdot(\ln\sin x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=5e^x\cdot\ln\sin x+5e^x\cdot\dfrac{1}{\sin x}\cdot (\sin x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=5e^x\ln\sin x+5e^x\cdot\dfrac{1}{\sin x}\cdot \cos x$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=5e^x\ln\sin x+5e^x\mathrm{ctg} x$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=5e^x(\ln\sin x+\mathrm{ctg} x)$

$y'=y\cdot 5e^x(\ln\sin x+\mathrm{ctg} x)$

$y'=5e^x(\sin x)^{5e^x}(\ln\sin x+\mathrm{ctg} x)$