Question

На окружности взята 101 точка.Сколько существует вписанных в окружность выпуклых многоугольников с вершинами в этих точках?

Answer 1

Ответ:

$2^{101} - 5152$

Пошаговое объяснение:

Количество способов построить k-угольник по 101 точке - $C^k_{101}$.

Тогда количество способов построить все многоугольники:

$\sum\limits_{k = 3}^{101} C_{101}^k = 2^{101} - C_{101}^2 - C_{101}^1 - C^0_{101} = 2^{101} - 5050 - 101 - 1 = 2^{101} - 5152$

Исходя из $2^n = (1 + 1)^{n} = C_{n}^0 + C_{n}^1 + \ldots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = \sum\limits_{k = 0}^{n} C_n^k$