Question

Всем привет! Прошу помощи
"Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами
дифференциального исчисления. "

Answer 1

$\lim\limits _{x \to 0}\frac{x\, tgx}{1-cosx}=\lim\limits _{x \to 0}\frac{x\, tgx}{2sin^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \lim\limits _{x \to 0}\Big (\frac{\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}\cdot 2\cdot \frac{\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}\cdot \frac{2}{x}\cdot \frac{tgx}{x}\cdot x\Big )=\\\\=\Big [\, \frac{a}{sina}\to 1\; ,\; \; \frac{tga}{a}\to 1\; ,\; a\to 0\Big ]=\frac{1}{2}\cdot \lim\limits _{x \to 0}(2\cdot \frac{2}{x}\cdot x)=\frac{1}{2}\cdot 4=2$