Question

Найдите площадь фигуры, которая задаётся на координатной плоскости условиями 3|x|+4|y|<=12

Answer 1

На самом деле получатся четыре отрезка, отсекающих от Ох 4 и от Оу 3. В каждом квадранте участки одинаковые.

Интегралом

Тогда $S = 4\int {(3 - \frac{3}{4}x)}\, dx = \int\limits_{0}^{4} {(12 - 3x)}\, dx  = (12x - \frac{3x^2}{2})|^4_0 = 24$

Формулой площади ромба

Диагонали ромба равны $d_1 = 8$ и $d_2 = 6$ соответственно. И $S = \frac{d_1 d_2}{2} = 24$.

Теорема Пика

Такое себе занятие, но мы можем подсчитать количество целочисленных решений $3|x| + 4|y| < 12$ (их 23) и обозначим как $B$. Также, подсчитаем целочисленные решения $3|x| + 4|y| = 12$ (их 4) и обозначим за $\Gamma$. Тогда площадь равняется $S = B+ \frac{\Gamma}{2} - 1 = 24$.