Question

Помогите, пожалуйста, найти производные.

Answer 1

$1)\; \; y=ln\sqrt[4]{\frac{1+2x}{1-2x}}\; \; ,\; \; \; (lnu)'=\frac{u'}{u}\; ,\; \; u=\Big (\frac{1+2x}{1-2x}\Big )^{\frac{1}{4}}\\\\y'=\sqrt[4]{\frac{1-2x}{1+2x}}\cdot \frac{1}{4}\cdot \Big (\frac{1+2x}{1-2x}\Big )^{-\frac{3}{4}}\cdot \frac{2(1-2x)-(1+2x)(-2)}{(1-2x)^2}=\\\\=\sqrt[4]{\frac{1-2x}{1+2x}}\cdot \frac{1}{4}\cdot \sqrt[4]{\Big (\frac{1-2x}{1+2x}\Big )^3}\cdot \frac{2-4x+2+4x}{(1-2x)^2}=\\\\=\frac{1}{4}\cdot \frac{1-2x}{1+2x}\cdot \frac{4}{(1-2x)^2}=\frac{1}{1-4x^2}$

$2)\; \; y=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})\\\\y'=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\cdot \Big (1+\frac{1}{2\sqrt{a^2+x^2}}\cdot 2x\Big )=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\cdot \frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\\\\=\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$