Question

Помогите, пожалуйста, найти производную (похідну)

$\left \{ {{y=2+cos t} \atop {x=t+sin t}} \right.$

y''xx-?

пожалуйста

Answer 1

Ответ:$y''_{xx}=-\frac{1}{(1+cost)^2}$

y''ₓₓ= -1/(1+cost)²

Пошаговое объяснение:

Помогите, пожалуйста, найти производную (похідну)  y''xx-?

$\left \{ {{y=2+cost} \atop {x=t+sint}} \right.$

Функция задана параметрически

$\left \{ {{x=\varphi (t)} \atop {y=\psi(t)}} \right.$

Первая производная находиться по формуле

$y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}$

Вторая производная находиться по формуле

$y''_{xx}=\frac{x'_t\cdot y''_{tt}-x''_{tt}\cdot y'_t}{(x'_t)^3}$

Находим первые производные

$x'_t = (t+sint)' = t' +(sint)' =1 +cost$

$y'_t=(2+cost)' =(2)' +(cost)' =-sint$

$y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}=\frac{-sint}{1+cost}=-\frac{sint}{1+cost}$

Находим вторые производные

$x''_{tt} = (1 +cost)' = (1)' +(cost)'=-sint$

$y''_{tt}=(-sint)'=-cost$

$y''_{xx}=\frac{(1+cost)\cdot(-cost)-(-sint)\cdot(-sint)}{(1+cost)^3}=\frac{-cost-(cost)^2-(sint)^2}{(1+cost)^3}=-\frac{1+cost}{(1+cost)^3}=-\frac{1}{(1+cost)^2}$

При преобразовании использовали тригонометрическое равенство

                                                  sin²t + cos²t  = 1