Question

Помогите, пожалуйста, найти производную (похідну)

$y=(x^{2}+7 )^{ctg7x}$

Answer 1

Ответ:$y'=(x^2+7)^{ctg(7x)}\cdot( -\frac{7ln(x^2+7)}{sin^2(7x)}+\frac{2x\cdot ctg(7x)}{x^2+7})$

Пошаговое объяснение:

найти производную (похідну)

$y=(x^2+7)^{ctg(7x)}$

Логарифмируем обе части уравнения

$ln(y)=ln((x^2+7)^{ctg(7x)})$

$ln(y)=ctg(7x)\cdot ln(x^2+7)}$

В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле .

                         (u·v)' = u'·v + u·v'

Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:

$(ln(y))'=(ctg(7x)\cdot ln(x^2+7)})'$

$\frac{y'}{y}= (ctg(7x))'\cdot ln(x^2+7)+ctg(7x)\cdot(ln(x^2+7))'$

$\frac{y'}{y}= -\frac{1}{sin^2(7x)}\cdot(7x)'\cdot ln(x^2+7)+ctg(7x)\cdot\frac{1}{x^2+7}\cdot(x^2+7)'$

$\frac{y'}{y}= -\frac{7}{sin^2(7x)}\cdot ln(x^2+7)+ctg(7x)\cdot\frac{2x}{x^2+7}$

$y'=y( -\frac{7}{sin^2(7x)}\cdot ln(x^2+7)+ctg(7x)\cdot\frac{2x}{x^2+7})$

Окончательно:

$y'=(x^2+7)^{ctg(7x)}\cdot( -\frac{7ln(x^2+7)}{sin^2(7x)}+\frac{2x\cdot ctg(7x)}{x^2+7})$