Question

решите 3 пример диф.уравнение

Answer 1

Ответ: $\dfrac{y^3}{3x^3}=\ln |x|+C$

Пошаговое объяснение:

Не трудно заметить, что данное диф. уравнение является однородным(выполнено условие однородности).

Пусть y = ux, тогда y' = u'x + u

$x\cdot u^2x^2\cdot (u'x+u)=x^3+u^3x^3\\ u^2(u'x+u)=1+u^3\\ u'x=\dfrac{1+u^3}{u^2}-u\\ \\ u'x=\dfrac{1}{u^2}$

По сути мы свели к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными, тогда осталось разделить переменные и затем проинтегрировать обе части уравнения

$\displaystyle \int u^2du=\int \frac{1}{x}~~~\Leftrightarrow~~~ \dfrac{u^3}{3}=\ln |x|+C$

Осталось сделать обратную замену

$\dfrac{y^3}{3x^3}=\ln |x|+C$ — общий интеграл