Question

Помогите пожалуйста решить в целых числах уравнения! Прошуууу вас!
Если хотите сделать половину, то пожалуйста с объяснениями) и желательно на фото. Спасибо

Answer 1

$1)\; \; 8x+14y=32\; |:2\; \; \Rightarrow \; \; \; 4x+7y=16\; \; (\star )$

Подберём частное решение уравнения (*).  4х=16-7у  ⇒  (16-7у) должно делиться на 4  (т.к. 4х делится на 4)  ⇒  (16-7у) - чётное  ⇒  т.к. 16 - чётное, то и 7у должно быть чётным, тогда и "у" - должно быть чётным.

$y=4:\; \; 4x=16-7\cdot 4=16-28=-12\; \; \to \; \; x=-3\\\\x_0=-3\; ,\; \; y_0=4$

Пара  (-3;4) - частное решение уравнения $(\star )$  , то есть

 $4\cdot (-3)+7\cdot 4=16\; (\star \star )$ .

Вычтем из уравнения  $(\star )$ уравнение $(\star \star )$ .

$4x+7y-(4\cdot (-3)+7\cdot 4)=16-16\\\\(4x+4\cdot 3)+(7y-7\cdot 4)=0\\\\4\cdot (x+3)+7\cdot (y-4)=0\; \; \Rightarrow \; \; x+3=\frac{-7(y-4)}{4}\; \; \Rightarrow$

Так как (х+3) должно быть целым, то и правая дробь должна быть целым числом. Для этого (у-4) должно делиться на 4( в числителе множитель 7 на 4 не делиться). Это можно записать так:  $y-4=4k\; ,\; k\in Z\; \; \Rightarrow \; \; y=4+4k$ .

$x+3=\frac{-7(y-4)}{4}=\frac{-7\cdot 4k}{4}=-7k\; \; \Rightarrow \; \; x=-3-7k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; \left \{ {{x=-3-7k\; ,\; k\in Z} \atop {y=4+4k\; \; ,\; k\in Z}} \right. \; .$

$2)\; \; 6x-15y=27\; |:3\; \; \Rightarrow \; \; 2x-5y=9\; \; (\star )\\\\2x=9+5y\; \; \to \; \; 2x=9+5\cdot 1=14\, \. :\, 2\; \; ;\; x=14:2=7\Rightarrow \\\\x_0=7\; ,\; \; y_0=1\; \; \Rightarrow \; \; 2\, x_0-5\, y_0=9\; \; \Rightarrow \\\\2\cdot 7-5\cdot 1=9\; \; (\star \star )\\\\(\star )-(\star \star )\; :\; \; 2(x-7)-5(y-1)=0\; \; \Rightarrow \; \; x-7=\frac{5(y-1)}{2}\; \; \Rightarrow \\\\y-1=2k\; ,\; k\in Z\; \; \Rightarrow \; \; y=1+2k\; ,\; k\in Z\\\\x-7=\frac{5\cdot 2k}{2}=5k\; \to \; \; x=7+5k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; \left \{ {{x=7+5k\; ,\; k\in Z} \atop {y=1+2k\; ,\; k\in Z}} \right.\;$

$3)\; \; 11x-3y=14\; \; (\star )\\\\11x=14+3y\; ,\; \; 11x=14+3\cdot (-1)=14-3=11\; \Rightarrow \\\\x_0=1\; ,\; y_0=-1\; \; \Rightarrow \; \; 11\, x_0-3\, y_0=14\; \; \Rightarrow \\\\11\cdot 1-3\cdot (-1)=14\; \; (\star \star )\\\\(\star )-(\star \star ):\; \; \; 11\cdot (x-1)-3\cdot (y+1)=0\; \; \Rightarrow \; \; x-1=\frac{3(y+1)}{11}\; \; \Rightarrow \\\\y+1=11k\; ,\; k\in Z\; \; \Rightarrow \; \; y=-1+11k\; ,\; k\in Z\\\\x-1=3k\; \to \; \; x=1+3k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; \left \{ {{x=1+3k\; ,\; k\in Z} \atop {y=-1+11k\; ,\; k\in Z}} \right.\; .$

$4)\; \; 7x-4y=29\; \; (\star )\\\\x_0=7\; ,\; y_0=5\; \; \Rightarrow 7\, x_0-4\, y_0=29\\\\7\cdot 7-4\cdot 5=29\; \; (\star \star )\\\\7(x-7)-4(y-5)=0\; \; \Rightarrow \; \; x-7=\frac{4(y-5)}{7}\; \; \Rightarrow \\\\y-5=7k\; \; \Rightarrow \; \; y=5+7k\; ,\; \; k\in Z\\\\x-7=4k\; \; \Rightarrow \; \; x=7+4k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; \left \{ {{x=7+4k\; ,\; k\in Z} \atop {y=5+7k\; ,\; k\in Z}} \right.$

$5)\; \; 9x-11y=8\; \; (\star )\\\\x_0=7\; ,\; \; y_0=5\; \; \Rightarrow \; \; 9\,x_0-11\, y_0=8\\\\9\cdot 7-11\cdot 5=8\; \; (\star \star )\\\\9(x-7)-11(y-8)=0\; \; \Rightarrow \; \; x-7=\frac{11(y-8)}{9}\; \; \Rightarrow \\\\y-8=9k\; \; \Rightarrow \; \; y=8+9k\; ,\; k\in Z\\\\x-7=11k\; \; \Rightarrow \; \; x=7+11k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; \left \{ {{x=7+11k\; ,\; k\in Z} \atop {y=8+9k\; ,\; k\in Z}} \right. \; .$

$6)\; \; 9x-5y=119\; \; (\star )\\\\5y=9x-119\; \; \Rightarrow \; \; 5y=9\cdot 1-119=-110\; \.:\; 5\; ,\; y=-110:5=-22\\\\x_0=1\; \; ,\; \; y_0=-22\; \; \Rightarrow \; \; 9\, x_0-5\, y_0=119\\\\9\cdot 1-5\cdot (-22)=119\; \; (\star \star )\\\\(\star )-(\star \star ):\; \; 9(x-1)-5(y+22)=0\; \; \Rightarrow \; \; x-1=\frac{5(y+22)}{9}\; \; \Rightarrow \\\\y+22=9k\; \; \Rightarrow \; \; y=-22+9k\; ,\; k\in Z\\\\x-1=5k\; \; \Rightarrow \; \; x=1+5k\; ,\; k\in Z$

$Otvet:\; \; \left \{ {{x=1+5k\; ,\; k\in Z} \atop {y=-22+9k\; ,\; k\in Z}} \right. \; .$