Question

$a_{n}=\frac{6n+7}{5n-1} a=\frac{6}{5} \\lim (a_{n})=a$
при n->oo доказать

Answer 1

Ответ:

$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{6n + 7}{5n - 1} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n(6 + \frac{7}{n})}{n(5 - \frac{1}{n})} = \frac{6}{5}$

Пошаговое объяснение:

По определению:

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 = N(\varepsilon) \colon \forall \mathbb{N} \ni n > n_0 \to |a_n - A| < \varepsilon)$

Докажем, что начиная с какого-то $n_0$ будет верно $|a_n - \frac{6}{5}| < \varepsilon$ для любого $\varepsilon > 0$.

$|\frac{6n + 7}{5n - 1} - \frac{6}{5}| < \varepsilon\\|\frac{30n + 35 - 30n + 6}{25n -5}| < \varepsilon\\|\frac{41}{25n - 5}| < \varepsilon\\n \in \mathbb{N} \to 25n - 5 > 0\\\varepsilon(25n - 5) > 41 \\n > \frac{\frac{41}{\varepsilon} + 5}{25}$.

Данное уравнение разрешимо для любого $\varepsilon > 0$, следовательно, $\frac{6}{5}$ есть предел последовательности.