Question

Дано положительное число a. Известно, что уравнение x3+1=ax имеет ровно два положительных корня, и отношение большего из них к меньшему равно 2018. Уравнение x3+1=ax2 также имеет ровно два положительных корня. Докажите, что отношение большего из них к меньшему также равно 2018.

Answer 1

Обозначим положительные корни второго уравнения как $1/x_1$ и $1/x_2$. Так как сами корни положительны, то и $x_1$, $x_2$ тоже положительны и не равны.

Подставим эти корни во второе уравнение, получатся уравнения вида

$\left(\dfrac1{x_i}\right)^3+1=a\left(\dfrac 1{x_i}\right)^2$

Умножим это уравнение на положительное число вида $x_i^3$, получим первое уравнение:

$1+x_i^3=ax_i$

Поскольку $x_1$ и $x_2$ - положительные неравные числа, то они и являются корнями первого уравнения. По условию, отношение большего к меньшему равно 2018, пусть для определённости $x_2=2018x_1$. Тогда отношение корней второго уравнения равно

$\dfrac{1/x_1}{1/x_2}=\dfrac{x_2}{x_1}=2018$

P.S. на самом деле, из условия можно определить значение a. Оно оказывается равным

$\dfrac{4074343}{\sqrt[3]{4074342^2}}$