Question

Вычислить определённый интеграл

Answer 1

Проведем замену:

$t=\sqrt[3]{x+1} \\x+1=t^3\\dx=3t^2dt$

Когда x пробегает значения от 0 до 7, t принимает значения от 1 до 2. Подставляем всё это в интеграл и получаем:

$\displaystyle\int\limits_0^7\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}} =\displaystyle\int\limits_1^2\frac{3t^2dt}{1+t}=3\displaystyle\int\limits_1^2\frac{t(t+1)-(t+1)+1}{t+1}dt =3\displaystyle\int\limits_1^2\left(t-1-\frac{1}{t+1}\right)dt=3\left(\frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|\right)\left.\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\right|_{1}^{2}=3\left(2-2+\ln3-\frac{1}{2}+1-\ln2\right)=\frac{3}{2} -\ln\frac{27}{8}\approx \\\approx 2.72$