Question

$lg(x - 2) < 2 - lg(27 - x)$

Answer 1

ОДЗ :

1) x - 2 > 0     ⇒   x > 2

2) 27 - x > 0   ⇒   - x > - 27       ⇒     x < 27

Окончательно :

x ∈ (2 ; 27)

$lg(x-2)<2-lg(27-x)\\\\lg(x-2)<lg100-lg(27-x)\\\\lg(x-2)+lg(27-x)<lg100\\\\lg((x-2)(27-x))<lg100\\\\(x-2)(27-x)<100\\\\27x-x^{2} -54+2x-100<0\\\\-x^{2}+29x-154<0\\\\x^{2}-29x+154>0\\\\x^{2}-29x+154=0\\\\D=(-29)^{2} -4*154=841-616=225=15^{2}\\\\x_{1}= \frac{29+15}{2} =22\\\\x_{2}=\frac{29-15}{2}=7\\\\(x-22)(x-2)>0$

     +                     -                       +

_______₀____________₀________

              7                        22

x ∈ (- ∞ ; 7) ∪ (22 ; + ∞)

С учётом ОДЗ окончательный ответ :   x ∈ (22 ; 27)

 

Answer 2

$lg(x - 2) < 2 - lg(27 - x)$

$D$

$\begin{cases}x-2>0\\ 27-x>0\end{cases}$

$\begin{cases}x>2\\ x<27\end{cases}$

$x \in \left( 2;27\right)$

$lg(x - 2)+lg(27 - x) < 2$

$lg(x - 2)(27 - x) < 2lg10$

$lg(x - 2)(27 - x) < lg10^2$

$lg(x - 2)(27 - x) < lg100$

$(x - 2)(27 - x) < 100$

$27x-x^2-54+2x-100<0$

$- x^2 + 29x - 154<0$

$D=29^2-4 \cdot (-1) \cdot (-154)=841-616=225$

$\sqrt{D}= \sqrt{225}=15$

$x_1= \frac{-29-15}{2 \cdot (-1)}= \frac{-44}{-2}= 22$

$x_2= \frac{-29+15}{2 \cdot (-1)}= \frac{-14}{-2}= 7$

$x \in \left(- \infty ;7\right) \cup \left( 22;+ \infty \right)$

Ответ

$\begin{cases} x \in \left( 2;27\right)\\ x \in \left(- \infty ;7\right) \cup \left( 22;+ \infty \right)\end{cases}$

$x \in (22;27)$