Question

Помогите, пожалуйста, найти производные. Очень подробно.

Answer 1

$1)\; \; y=ln\, arcsin\sqrt{1-e^{2x}}\; \; ,\\\\\star \; \; (lnu)'=\frac{1}{u}\cdot u'\; \; ,\; \; u=arcsin\sqrt{1-e^{2x}}\; \; \star \\\\y'=\frac{1}{arcsin\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot (arcsin\sqrt{1-e^{2x}})'=\\\\\star \; \; (arcsinu)'=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u'\; \; ,\; \; u=\sqrt{1-e^{2x}}\; \; \star \\\\=\frac{1}{arcsin\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(1-e^{2x})}}\cdot (\sqrt{1-e^{2x}})'=\\\\\star \; \; (\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\; \; ,\; \; u=1-e^{2x}\; \; \star$

$=\frac{1}{arcsin\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{e^{2x}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot (1-e^{2x})'=\\\\\star \; \; (e^{u})'=e^{u}\cdot u'\; \; ,\; \; u=2x\; \; \star \\\\=\frac{1}{arcsin\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot \frac{1}{e^{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot (-e^{2x})\cdot 2=-\frac{1}{arcsin\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot \frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}$

$2)\; \; y=ln\frac{\sqrt5+tg(x/2)}{\sqrt5-tg(x/2)}\\\\y'=\frac{\sqrt5-tg(x/2)}{\sqrt5+tg(x/2)}\cdot \frac{\frac{1}{cos^2(x/2)}\cdot \frac{1}{2}\cdot (\sqrt5-tg(x/2))+\frac{1}{cos^2(x/2)}\cdot \frac{1}{2}\cdot (\sqrt5+tg(x/2))}{(\sqrt5-tg(x/2))^2}=\\\\=\frac{\sqrt5-tg(x/2)}{\sqrt5+tg(x/2)}\cdot \frac{\frac{1}{2cos^2(x/2)}\cdot 2\sqrt5}{(\sqrt5-tg(x/2))^2}=\frac{\sqrt5}{cos^2(x/2)\cdot (\sqrt5-tg^2(x/2))}$

$3)\; \; y=ln\Big (arccos\frac{1}{\sqrt{x}}\Big )\\\\y'=\frac{1}{arccos\frac{1}{\sqrt{x}}}\cdot (arccos\frac{1}{\sqrt{x}})'=\frac{1}{arccos\frac{1}{\sqrt{x}}}\cdot \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}\cdot (\frac{1}{\sqrt{x}})'=\\\\=-\frac{1}{arccos\frac{1}{x}}\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}\cdot \frac{-(\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2}=\frac{1}{arccos\frac{1}{\sqrt{x}}}\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}\cdot x}=\\\\=\frac{1}{2x\cdot \sqrt{x-1}\cdot arccos\frac{1}{\sqrt{x}}}$