Question

Выполните задание с корнями

Вынесите множитель за знак корня √50, √18, √32, √700
Упростите √27-√12+√75 ; 0.7√45+1/2√20
Сравнить 4√3 и 5√2
Упростите √6(√2+√5) ; (√7-√3)(√7+√3); (√10+√8) ²
Сократи дробь √30+√45/√12+√14 ; √x+√y/x-y; c+2√cd+d/c-d; b-25/√b+5
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби
21/√7 ; 22/√13-√2

Кто поможет спасибо, просто вообще не врубаюсь

Answer 1

Ответ:

Вынесите множитель за знак корня:

$\tt \displaystyle \sqrt{50} =\sqrt{25 \cdot 2} =\sqrt{25} \cdot \sqrt {2} =\sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt {2} =5\cdot \sqrt {2};$

$\tt \displaystyle \sqrt{18} =\sqrt{9 \cdot 2} =\sqrt{9} \cdot \sqrt {2} =\sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt {2} =3\cdot \sqrt {2};$

$\tt \displaystyle \sqrt{32} =\sqrt{16 \cdot 2} =\sqrt{16} \cdot \sqrt {2} =\sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt {2} =4\cdot \sqrt {2};$

$\tt \displaystyle \sqrt{700} =\sqrt{100 \cdot 7} =\sqrt{100} \cdot \sqrt {7} =\sqrt{10^{2}} \cdot \sqrt {7} =10\cdot \sqrt {7}.$

Упростите:

$\tt \displaystyle \sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{75} =\sqrt{9 \cdot 3}-\sqrt{4 \cdot 3}+\sqrt{25 \cdot 3} =\sqrt{3^{2} \cdot 3}-\sqrt{4^{2} \cdot 3}+\sqrt{5^{2} \cdot 3} =\\\\=3\cdot \sqrt {3}-4\cdot \sqrt {3}+5\cdot \sqrt {2}=(3-4+5)\cdot \sqrt {2}=4\cdot \sqrt {2};$

$\tt \displaystyle 0,7 \cdot \sqrt{45}+ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{20} = 0,7 \cdot \sqrt{9 \cdot 5}+ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 5} =0,7 \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 5}+ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5} =\\\\=0,7 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}+ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 2,1 \cdot \sqrt{5}+ \sqrt{5} = (2,1+1)\cdot \sqrt{5}=3,1 \cdot \sqrt{5}.$

Сравнить:

$\tt \displaystyle 4 \cdot \sqrt{3}$ и $\tt \displaystyle 5 \cdot \sqrt{2}$. Возведём в квадрат оба числа:

$\tt \displaystyle (4 \cdot \sqrt{3})^{2}=16 \cdot 3 = 48$ и $\tt \displaystyle (5 \cdot \sqrt{2})^{2}=25 \cdot 2 = 50$.

Так как 48 <50, то $\tt \displaystyle 4 \cdot \sqrt{3}$ < $\tt \displaystyle 5 \cdot \sqrt{2}$.

Упростите:

Применим формулы сокращенного умножения:

1) (a-b)·(a+b)=a²-b²; 2) (a+b)²=a²+2·a·b+b².

$\tt \displaystyle \sqrt{6} \cdot (\sqrt{2}+ \sqrt{5}) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6 \cdot 5} = \sqrt{12} + \sqrt{30} ;$

$\tt \displaystyle (\sqrt{7} -\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^{2} -(\sqrt{3})^{2} = 7-3=4;$

$\tt \displaystyle (\sqrt{10} + \sqrt{8})^{2} = (\sqrt{10})^{2}+2 \cdot \sqrt{10}\cdot \sqrt{8}+(\sqrt{8})^{2} = 10+2 \cdot \sqrt{80}+8=\\\\=18+2 \cdot \sqrt{16 \cdot 5}=18+2 \cdot \sqrt{4^2 \cdot 5}=18+2\cdot 4\cdot \sqrt{ 5}=18+8\cdot \sqrt{ 5}.$

Сократить дробь:

$\tt \displaystyle \frac{\sqrt{30} + \sqrt{45}}{\sqrt{12} + \sqrt{14}} =\frac{(\sqrt{30} + \sqrt{45})\cdot (\sqrt{12} - \sqrt{14})}{(\sqrt{12} + \sqrt{14}) \cdot (\sqrt{12} - \sqrt{14})} =\\\\=\frac{\sqrt{30} \cdot \sqrt{12}-\sqrt{30} \cdot \sqrt{14}+\sqrt{45} \cdot \sqrt{12}-\sqrt{45} \cdot \sqrt{14}}{(\sqrt{12})^2 - (\sqrt{14})^2 } =\\\\=\frac{\sqrt{30 \cdot 12}-\sqrt{30 \cdot 14}+\sqrt{45 \cdot 12}-\sqrt{45 \cdot 14}}{12 -14} =$

$\tt \displaystyle =\frac{\sqrt{360}-\sqrt{420}+\sqrt{540}-\sqrt{630}}{-2} =-(\sqrt{\frac{360}{4}}-\sqrt{\frac{420}{4}}+\sqrt{\frac{540}{4}}-\sqrt{\frac{630}{4}})=\\\\=-(\sqrt{90}-\sqrt{105}+\sqrt{135}-\sqrt{\frac{315}{2}})=\sqrt{105}-\sqrt{90}-\sqrt{135}+\sqrt{\frac{315}{2}};$$\tt \displaystyle \frac{\sqrt{x} +\sqrt{y}}{x-y} =\frac{\sqrt{x} +\sqrt{y}}{(\sqrt{x} +\sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x} -\sqrt{y})} = \frac{1}{\sqrt{x} -\sqrt{y}} ;$

$\tt \displaystyle \frac{c+2\cdot \sqrt{c \cdot d} +d}{c-d} = \frac{(\sqrt{c})^{2}+2\cdot \sqrt{c \cdot d} + (\sqrt{d})^{2}) }{c-d} = \\\\=\frac{(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{2}}{(\sqrt{c}+\sqrt{d}) \cdot (\sqrt{c}-\sqrt{d})} =\frac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}};$

$\tt \displaystyle \frac{b-25}{\sqrt{b}+5 } = \frac{(\sqrt{b})^2-5^2}{\sqrt{b}+5 } =\frac{(\sqrt{b}+5)\cdot(\sqrt{b}-5)}{\sqrt{b}+5 } =\sqrt{b}-5.$

Освободить от иррациональности в знаменателе дроби :

$\tt \displaystyle \frac{21}{\sqrt{7}} = \frac{21 \cdot \sqrt{7} }{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} }=\frac{21 \cdot \sqrt{7} }{7}= 3\cdot \sqrt{7} ;$

$\tt \displaystyle \frac{22}{\sqrt{13}-\sqrt{2}} = \frac{22\cdot (\sqrt{13}+\sqrt{2})}{(\sqrt{13}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{13}+\sqrt{2})} =\\\\=\frac{22\cdot (\sqrt{13}+\sqrt{2})}{(\sqrt{13})^2-(\sqrt{2})^2} =\frac{22\cdot (\sqrt{13}+\sqrt{2})}{13-2} =\frac{22\cdot (\sqrt{13}+\sqrt{2})}{11} =2\cdot (\sqrt{13}+\sqrt{2}).$