Question

Вычислить интеграл ∫x^2e^xdx
$\int\ {x^{2} } e^{x} \, dx$

Answer 1

Интегралы подобного типа следует брать по частям.

$\int {u} \, dv = uv-\int v\, du$

В нашем случае: $u=x^2, du=2xdx\\\\dv=e^xdx, v=e^x$

$\int {x^2e^x}\, dx=x^2e^x-2\int {xe^x}\, dx$

Для получившегося интеграла снова нужно применить формулу выше:

$\int {xe^x}\, dx=xe^x-\int {e^x}\, dx=xe^x-e^x+C$

Тогда в итоге получим:

$\int {x^2e^x}\, dx=x^2e^x-2\int {xe^x}\, dx=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C=\\\\=e^x(x^2-2x+2)+C$