Question

Система уравнений
$\sqrt{(x + 2) {}^{2} } = x + 2 \\ \sqrt{(x - 2) {}^{2} } = 2 - x$

Answer 1

$\begin{cases} \sqrt{(x + 2) ^2 } = x + 2\\\sqrt{(x - 2)^2 } = 2 - x \end{cases}$

$\begin{cases} |x + 2|= x + 2\\|x - 2|= 2 - x \end{cases}$

1.

$\begin{cases}x \in \left(- \infty ;-2\right]\\ |x + 2|= x + 2\\|x - 2|= 2 - x \end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(- \infty ;-2\right]\\ -(x + 2)= x + 2\\-(x - 2)= 2 - x \end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(- \infty ;-2\right]\\ -x -2= x + 2\\-x +2= 2 - x \end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(- \infty ;-2\right]\\ -x -x= 2+2\\-x +x= 2 -2 \end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(- \infty ;-2\right]\\ -2x= 4\ /:(-2)\\0= 0\end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(- \infty ;-2\right]\\ x= -2\\x\in \left(-\infty;+\infty\right) \end{cases}$

$x=-2$

----------------------

2.

$\begin{cases}x \in \left(-2;2\right]\\ |x + 2|= x + 2\\|x - 2|= 2 - x \end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(-2 ;2\right]\\ (x + 2)= x + 2\\-(x - 2)= 2 - x \end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(-2 ;2\right]\\ x + 2= x + 2\\-x +2= 2 - x \end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(-2 ;2\right]\\ x -x= 2-2\\-x +x= 2 - 2\end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(-2 ;2\right]\\ 0=0\\0=0\end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(-2 ;2\right]\\ x\in \left(-\infty;+\infty\right) \\ x\in \left(-\infty;+\infty\right) \end{cases}$

$x \in \left(-2 ;2\right]$

----------------------

3.

$\begin{cases}x \in \left(2;+\infty\right) \\ |x + 2|= x + 2\\|x - 2|= 2 - x \end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(2;+\infty\right) \\ x + 2= x + 2\\x - 2= 2 - x \end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(2;+\infty\right) \\ x -x= 2-2\\x+x= 2+2\end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(2;+\infty\right) \\0=0\\2x= 4\ /:2\end{cases}$

$\begin{cases}x \in \left(2;+\infty\right) \\ x\in \left(-\infty;+\infty\right) \\x= 2\end{cases}$

$x\in \emptyset$

==========================

Ответ

$x \in \left[-2;2 \right]$

Answer 2

Ответ: -2 ≤ x ≤ 2

Пошаговое решение:

Первое уравнение: при значениях x+2≥0 откуда x≥-2 возводим в квадрат левую и правую части уравнения, получим

$(x+2)^2=(x+2)^2$

Это уравнение верно для x≥-2

Аналогично со вторым уравнение. При значениях 2-x≥0, откуда x≤2 возводим в квадрат обе части уравнения, получим

$(x-2)^2=(x-2)^2$

И это равенство верно для x≤2

Решением системы уравнений является пересечения решений двух уравнений, т.е. -2 ≤ x ≤ 2