Предмет: Математика, автор: Novaya22

100 баллов! Срочно! Исследовать на сходимость ряды
1) Сума от 1 до бесконечности 1/(n^2 +2n +3)
2) Сума от 1 до бесконечности sin(pi/2^n)
3) Сума от 1 до бесконечности 1/(2n+1)!

Ответы

Автор ответа: as11111
0

Ответ: 1) сходится 2) сходится 3) сходится


Пошаговое объяснение:

1) Известно, что ряд сумма \frac{1}{n^{\alpha }} сходится при α > 1

В частности сходится и ряд суммы \frac{1}{n^{2}}

Т.к. n^{2}+2n+3>n^{2}

то \frac{1}{n^{2}+2n+3}<\frac{1}{n^{2}}

По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

2) Аргумент синуса убывает от \frac{\pi }{2} для 0

Следовательно рассматриваемый ряд положителен и для синуса можем записать

sinx < x

Исследуем на сходимость ряд сумм \frac{\pi }{2^{n}}

Найдем для него отношение последующего члена к предыдущему

D=\frac{\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\frac{\pi}{2^{n}}}=\frac{1}{2}&lt;1

По признаку Даламбера ряд сумм \frac{\pi }{2^{n}} сходится.

По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами, т.е сходится и ряд сумм sin(\frac{\pi}{2^{n}})

3. Найдем отношение последующего члена к предыдущему

D=\frac{\frac{1}{(2n+3)!}}{\frac{1}{(2n+1)!}}=\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}

При n стремящемся к бесконечности D стремится к нулю, а следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: uda4inak2009
Предмет: Химия, автор: ameliastarova11
Предмет: Математика, автор: Влад230299
Предмет: Математика, автор: 77Star77