Question

Нужна помощь с алгеброй (см. фото)!

Answer 1

$f(x) = \dfrac{x^{2} + 2x + 3}{\sqrt{\dfrac{1}{x}}} = \dfrac{x^{2} + 2x + 3}{x^{-0,5}} = ({x^{2} + 2x + 3)x^{0,5} = x^{2,5} + 2x^{1,5} + 3x^{0,5}$

1) Определим первообразную данной функции:

$F(x) = \dfrac{x^{2,5 + 1}}{2,5 + 1} + 2 \ \cdotp \dfrac{x^{1,5 + 1}}{1,5 + 1} + 3 \ \cdotp \dfrac{x^{0,5 + 1}}{0,5 + 1} + C = \dfrac{x^{3,5}}{3,5} + \dfrac{2x^{2,5}}{2,5} + \dfrac{3x^{1,5}}{1,5} + C = \\\\= \dfrac{2x^{3}\sqrt{x}}{7} + \dfrac{4x^{2}\sqrt{x}}{5} + 2x\sqrt{x} + C = \dfrac{10x^{3}\sqrt{x} + 28x^{2}\sqrt{x} + 70x\sqrt{x}}{35} + C = \\\\= \dfrac{2x\sqrt{x}(5x^{2} + 14x + 35)}{35} + C$

То есть $F(x) = \dfrac{2x\sqrt{x}(5x^{2} + 14x + 35)}{35} + C$

Координаты точки А имеют вид: $A (x; F(x))$

Подставляя значения точки А в первообразную, получим:

$\dfrac{3}{35} = \dfrac{2\ \cdotp 1\sqrt{1}(5\ \cdotp 1^{2} + 14\ \cdotp 1 + 35)}{35} + C\\\\\dfrac{3}{35} = \dfrac{108}{35} + C\\\\C = \dfrac{3}{35} - \dfrac{108}{35} = \dfrac{3 - 108}{35} = -\dfrac{105}{35} = -3$

Теперь первообразная примет вид:

$F(x) = \dfrac{2x\sqrt{x}(5x^{2} + 14x + 35)}{35} - 3$

Следовательно, $F(0) = \dfrac{2\ \cdotp 0\sqrt{0}(5\ \cdotp 0^{2} + 14\ \cdotp 0 + 35)}{35} -3 = -3$

Ответ: -3

2) Определим площадь криволинейной трапеции, пользуясь формулой $S = F(x) | \left\begin{array}{ccc}b\\a\end{array}\right = F(b) - F(a)$

$S = F(x) | \left\begin{array}{ccc}4\\1\end{array}\right = \bigg(\dfrac{2x\sqrt{x}(5x^{2} + 14x + 35)}{35}\bigg) | \left\begin{array}{ccc}4\\1\end{array}\right = \\\\= \dfrac{2\ \cdotp 4\sqrt{4}(5\ \cdotp 4^{2} + 14\ \cdotp 4 + 35)}{35} - \dfrac{2\ \cdotp 1\sqrt{1}(5\ \cdotp 1^{2} + 14\ \cdotp 1 + 35)}{35} = \\\\= \dfrac{2\ \cdotp 8 (80 + 56 + 35) - 2(5 + 14 + 35)}{35} = \dfrac{16 \ \cdotp 171 - 2 \ \cdotp 54}{35} = \\\\ = \dfrac{2736 - 108}{35} = \dfrac{2628}{25} = 75 \dfrac{3}{35}$

Округленное число до целых будет составлять 75 кв. ед.

Ответ: 75