Question

$\sqrt{x} - \sqrt{y} = log_{3}( \frac{y}{x} )$
в скобках с
${2}^{x + 2} + {8}^{x} = 5 \times {4}^{y}$

Answer 1

$\left \{ {{\sqrt{x}-\sqrt{y}=\log_3\left(\frac{y}{x}\right)} \atop {2^{x+2}+8^x=5\cdot 4^y}} \right.$ Разберемся сначала с первым уравнением, начав с ОДЗ. $x\ge 0;\ y\ge 0;\ x\not=0;\ \frac{y}{x}>0.$ Окончательно ОДЗ выглядит так: $\left \{ {{x>0} \atop {y>0}} \right.$. На ОДЗ первое уравнение можно переписать так:

$\sqrt{x}-\sqrt{y}=\log_3 y-\log_3 x;\ \sqrt{x}+\log_3 x=\sqrt{y}+\log_3 y.$

Рассмотрим функцию $F(t)=\sqrt{t}+\log_3 t,$ являющуюся возрастающей как сумма двух возрастающих функций. Наше уравнение может быть записано в виде $F(x)=F(y)$, а поскольку возрастающая функция каждое свое значение принимает ровно один раз, отсюда следует, что  x=y. Подставив  x во второе уравнение вместо y, получаем уравнение $4\cdot 2^x+2^{3x}=5\cdot 2^{2x},$ а заменив $2^x$ на p>0, получаем уравнение $p^3-5p^2+4p=0,$ а раз $p\not=0$, сводим к уравнению $p^2-5p+4=0;\ \left [ {{p=1} \atop {p=4}} \right.$. p=1 приводит к x=0, что не подходит по ОДЗ, p=4 приводит к x=2, откуда и y=2. Делаем на всякий случай проверку. Первое уравнение дает 0=0, второе дает 80=80 - верно.

Ответ: $\left \{ {{x=2} \atop {y=2}} \right.$