Question

Докажите, что
$\frac{n {}^{5} }{120} + \frac{n {}^{4} }{12} + \frac{7n {}^{3} }{24} + \frac{5n {}^{2} }{12} + \frac{n}{5}$

при любом целом n есть число

целое.

Answer 1

Числитель равен

$n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n=n(n^4+10n^3+35n^2+50n+24)=\\\\=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$

Произведение 5 подряд идущих чисел. Известно, что оно делится на 5!, то есть на 120, то есть на знаменатель. Поэтому исходное выражение целое при целых н.