Question

Решить логарифмическое неравенство с ОДЗ

Answer 1

ОДЗ: $\begin{equation*}\begin{cases} \frac{2x+2}{5x-1}>0\\ \frac{2x+2}{5x-1} \neq 1\\ 5x-1\neq 0\\ 10x^2+x-2>0 \end{cases}\end{equation*} \Rightarrow \begin{equation*}\begin{cases} x\in(-\infty; -1)\cup(0.2; +\infty)\\ x \neq 1\\ x\neq 0.2\\ x\in(-\infty; -0.5)\cup(0.4; +\infty) \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow\\ \Rightarrow x\in(-\infty; -1)\cup(0.4; 1)\cup(1; +\infty)$

Воспользуемся следующим методом рационализации:

$\log_{A}{B} \vee \log_{A}{C} \Leftrightarrow (A-1)(B-C)\vee 0$

В частности, так как $0=\log_{A}{1}$, $\log_{A}{B} \vee 0 \Leftrightarrow (A-1)(B-1)\vee 0$

Тогда исходное неравенство станет равносильным неравенству:

$(\frac{2x+2}{5x-1}-1)(10x^2+x-2-1)\leq 0\\ \frac{3-3x}{5x-1}*(10x^2+x-3)\leq 0\\ \frac{(x-1)(5x+3)(2x-1)}{5x-1} \geq 0$

Решим неравенство методом интервалов (см. рис.). Получим, что $x\in(-\infty; -0.6]\cup(0.2; 0.5]\cup[1; +\infty)$

Объединяя полученный промежуток с ОДЗ, получим ответ.

Ответ: $x\in(-\infty; -1)\cup(0.4; 0.5]\cup(1; +\infty)$