Question

Пускай m и n--такие числа,что число (m*m)+9mn+(n*n) делится на 11.Докажите, что число (n*n) -(m*m) тоже делится на 11

Answer 1

$n^{2}+9mn+m^{2}=n^{2}-2mn+m^{2}+11mn=(n-m)^{2}+11mn$

Т.к. исходное выражение делится на 11 и 11mn делится на 11, то и $(n-m)^{2}$ делится на 11. Откуда следует, что (n - m) делится на 11.

Т.к. $n^{2}-m^{2}=(n-m)(n+m)$, а (n - m) делится на 11, как мы уже доказали, получаем, что и $n^{2}-m^{2}$ делится на 11.