Question

Пусть a,b,c- положительные. числа, сумма которых равна 1. докажите неравенство:
$\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 - b} + \frac{1}{1 - c} \geqslant \frac{2}{1 + a} + \frac{2}{1 + b} + \frac{2}{1 + c}$
дам 30 баллов.пожалуйста можно побыстрее

Answer 1

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:    

Решение 1

Заметим, что      (мы использовали неравенство      между средним арифметическим и средним гармоническим для положительных x, y). Осталось сложить три аналогичных неравенства.

Решение 2

 Не умаляя общности, можно считать, что  a ≥ b ≥ c,  тогда  1 – c² ≥ 1 – b² ≥ 1 – a²  и, следовательно,  

 Заметим, что     Таким образом, нужно доказать неравенство  

 Поскольку сумма числителей равна 0, неравенство будет доказано, если мы заменим знаменатели на равные таким образом, что каждая дробь при этом не увеличится. Если  a ≥ b ≥ ⅓ ≥ c,  то заменим все знаменатели на  1 – c²,  в результате отрицательное слагаемое не изменится, а положительные не увеличатся. Если  a ≥ ⅓ b ≥ c,  то заменим все знаменатели на  1 – b²,  тогда положительное слагаемое и одно из отрицательных только уменьшатся, а второе отрицательное слагаемое останется неизменным.

Выбирай 1 или 2