Question

В треугольник ABC вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне AC, а две другие - на сторонах AB и ВС. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если АС=12 см, ВД=10см, где BD - высота треугольника ABC.

ОЧЕНЬ СРОЧНО, ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Отметим точки E и F прямоугольника EGHF на стороне AC, а точку G и H на сторонах AB и BC соответственно. Пересечение высоты BD и отрезка GH отметим через D1.

Обозначим GH через x.

Т.к. в прямоугольнике EGHF сторона GH параллельна стороне EF, которая лежит на стороне AC треугольника ABC, то GH || AC, а следовательно ΔGBH≈ΔABC

Тогда

$\frac{GH}{AC} =\frac{BD_{1}}{BD}\\\frac{x}{12} =\frac{BD_{1}}{10}\\BD_{1}=\frac{5}{6}x\\DD_{1}=BD-BD_{1}=10-\frac{5}{6}x$

Отметим, что GE = DD1 и найдем площадь прямоугольника EGHF:

$S_{EGHF}=GE*GH=DD_{1}*GH=(10-\frac{5}{6}x)x=10x-\frac{5}{6}x^{2}$

Т.е. нам надо найти максимум функции $10x-\frac{5}{6}x^{2}$

Для этого найдем ее производную и приравняем 0:

$10-\frac{5}{3}x=0\\x=6$

Значит x = 6 является точкой максимума функции.

Значение функции в точке максимума: $10*6-\frac{5}{6}6^{2}=60-30=30$

Ответ: наибольшее значение площади такого прямоугольника 30 см2