Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

f(x)=1-x^2, x=-1; y=0
f(x)=-x^2-2x+2, y=0; x=-1; x=0

Answer 1

а) Найдем точки пересечения функции 1 - x^2 с осью OX

1 - x^2 = 0

x1 = -1

x2 = 1

Следовательно для нахождения площади криволинейной трапеции нам надо найти

$\int\limits^1 _ {-1}  {(1-x^{2})} \, dx$

Первообразная функции $1-x^{2}$ равна $x-\frac{1}{3} x^{3}$

Следовательно $S=1-\frac{1}{3} 1^{3}-(-1-\frac{1}{3} (-1)^{3})=\frac{4}{3}$

б) Здесь пределы интегрирования определены, поэтому находим

$\int\limits^{0}_{-1} {(x^{2}-2x+2)} \, dx$

Первообразная в этом случае:

$F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}+2x$

$S=F(0)-F(-1)=-(\frac{1}{3} (-1)^{3}-(-1)^{2}+2*(-1))=\frac{1}{3}+1+2=3\frac{1}{3}$