Question

Докажите, что многочлен G (x) = x²ⁿ⁻¹ + a²ⁿ⁻¹ (n ∈ N) делится на многочлен (x + a), и найдите частное от деления.

Answer 1

$x^{2n-1}+a^{2n-1}$ имеет корень $x=-a$, так как $(-a)^{2n-1}+a^{2n-1}=-a^{2n-1}+a^{2n-1}=0$. Значит, многочлен можно разделить на выражение $(x-(-a))$, то есть на $(x+a)$.

Найдем частное. Удобнее всего воспользоваться схемой Горнера.

Так как выполняется деление многочлена $x^{2n-1}+a^{2n-1}$, то его коэффициентами будут числа $1,\ 0,\ 0,\ 0,\ ...,\ 0, a^{2n-1}$. Так как в канонической записи этого многочлена $2n$ слагаемых со степенями от $x^0$ до $x^{2n-1}$, а лишь два из них ненулевые, то ноль будет повторяться в качестве коэффициента $2n-2$ раза.

Далее по схеме Горнера вычисляются коэффициенты частного (картинка). Степень частного на 1 меньше степени делимого.

Таким образом:

$x^{2n-1}+a^{2n-1}=(x+a)(x^{2n-2}-x^{2n-3}a+...-xa^{2n-3}+a^{2n-2})$

То есть наблюдается закономерность: показатель степени "х" уменьшается, а показатель степени "а" растет. Сумма же этих двух показателей постоянна и равна $2n-2$, что на 1 меньше, чем степень исходного многочлена $x^{2n-1}+a^{2n-1}$.