Question

СРОЧНО！ Баллами не обижу！ Исследовать график функции на:
-парность/непарность
-точки разрыва
-асимптоты
-нули функции
-экстремум
-точки перегиба
-монотонность

Answer 1

$y=\frac{2x^2-6}{x-2}; \; OOF:\; \; x\in (-\infty ,2)\cup (2,+\infty )\\\\1)\; \; y(-x)=\frac{2x^2-6}{-x-2}\ne y(x)\ne -y(x)$

Функция общего вида (не явл. ни чётной, ни нечётной).

2)  Точка разрыва 2 рода: х=2, так как

$\lim\limits _{x \to 2-0}\frac{2x^2-6}{x-2}=\infty \; ,\; \; \lim\limits _{x \to 2+0}\frac{2x^2-6}{x-2}=\infty$

$3)\; \; \lim\limits _{x \to 2}\frac{2x^2-6}{x-2}=\infty \; \; \Rightarrow \; \; x=2\; vertik.\; asimptota\\\\y=kx+b\; ,\; \; \; k=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{y(x)}{x}=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{2x^2-6}{x^2-2x}=2\; ,\\\\b=\lim\limits _{x \to \infty}(y-kx)=\lim\limits _{x \to \infty}(\frac{2x^2-6}{x-2}-2x)=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{4x-6}{x-2}=4\\\\y=2x+4\; \; naklonnaya\; asimptota$

$4)\; \; \frac{2x^2-6}{x-2}=0\; \; \to \; \; 2x^2-6=0\; ,\; x^2=3\; ,\; \; x=\pm \sqrt3\\\\A(-\sqrt3,0)\; ,\; \; B(\sqrt3,0)\\\\5)\; \; y'=\frac{4x(x-2)-(2x^2-6)}{(x-2)^2}=\frac{4x^2-8x-2x^2+6}{(x-2)^2}=\frac{2(x^2-4x+3)}{(x-2)^2}=\frac{2(x-1)(x-3)}{(x-2)^2} \\\\znaki\; y':\; \; ---(1)+++(2)---(3)+++\qquad x\ne 2\\\\x_{min}=1\; ,\; \; y(1)=3\; \; ;\; \; x_{min}=3\; ,\; \; y(3)=12\\\\y(x)\; \; ybuvaet\; \; x\in (-\infty ,1)\; ,\; \; x\in (2,3)\\\\y(x)\; \; vozrastaet\; \; x\in (1,2)\; ,\; x\in (3,+\infty )$

$6)\; \; y''=\Big (\frac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2}\Big )'=\frac{(4x-8)(x-2)^2-(2x^2-8x+6)\cdot 2(x-2)}{(x-2)^4}=\\\\=\frac{4x^2-16x+16-4x^2+16x-12}{(x-2)^3}=\frac{4}{(x-2)^3}>0$

Точек перегиба нет. На обл. определения ф-ция всюду вогнута.