Question

9^(2*x+1)+13^(2*x+1)<=22*117^x

Answer 1

$9^{2x+1}+13^{2x+1}\leqslant22\cdot117^x$

Разделим обе части неравенства на $9^{2x}$. Это положительное число при любом x, значит, получится равносильное неравенство.

$\dfrac{9\cdot9^{2x}}{9^{2x}}+\dfrac{13\cdot13^{2x}}{9^{2x}}\leqslant\dfrac{22\cdot9^x\cdot13^x}{9^{2x}}\\9+13\left(\dfrac{13}9\right)^{2x}\leqslant22\left(\dfrac{13}9\right)^x$

Обозначим (13/9)^x за t. Тогда получится квадратичное неравенство:

$9+13t^2\leqslant22t\\13t^2-22t+9\leqslant 0\\(13t^2-13t)-(9t-9)\leqslant0\\(13t-9)(t-1)\leqslant0$

Итак, $t\in[9/13;1]$. Возвращаемся обратно к x:

$\dfrac9{13}\leqslant t\leqslant1\\\dfrac9{13}\leqslant \left(\dfrac{13}9\right)^x\leqslant1\\\left(\dfrac{13}9\right)^{-1}\leqslant \left(\dfrac{13}9\right)^x\leqslant\left(\dfrac{13}9\right)^0\\\boxed{-1\leqslant x\leqslant 0}$