Question

$\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{2x+6} =\sqrt[3]{3x+24}$

Answer 1

Пусть $\sqrt[3]{x}=a, \sqrt[3]{2x+6}=b, \sqrt[3]{3x+24}=c$. Тогда

$a+b=c\\(a+b)^3=c^3\\a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=c^3\\a^3+b^3+3ab(a+b)=c^3$

Заменим a + b на c:

$3abc=c^3-a^3-b^3\\3\sqrt[3]{x(2x+6)(3x+24)}=3x+24-x-2x-6\\ 3\sqrt[3]{6x(x+3)(x+8)}=18\\ \sqrt[3]{6x(x+3)(x+8)}=6\\ 6x(x+3)(x+8)=216\\ x(x+3)(x+8)=36\\ x^3+11x^2+24x-36=0$

Заметим, что x = 1 - корень уравнения. Тогда разделим $x^3+11x^2+24x-36$ на $x-1$ (см. картинку). Получим $x^2+12x+36=(x+6)^2$. Тогда уравнение будет иметь вид:

$(x-1)(x+6)^2=0\\x=-6;1$

Так как производилась замена a + b на c, могли появиться посторонние корни. Сделаем проверку:

x = -6:

$\sqrt[3]{-6}+\sqrt[3]{2*(-6)+6}=\sqrt[3]{3*(-6)+24}\\ \sqrt[3]{-6}+\sqrt[3]{-6}=\sqrt[3]{6}\\-2\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{6}$

Равенство не выполнилось - корень не подходит.

x = 1:

$\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{2+6}=\sqrt[3]{3+24}\\\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{27}\\1+2=3\\3=3$

Равенство выполнилось - корень подходит.

Ответ: 1