Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ!!!!



Доказать, что при любом целом значении k значение выражения
${k}^{4} + 6 {k}^{3} + 11 {k}^{2} + 6k$
делится на 24

Answer 1

Преобразуем:

$\sf k^4+6k^3+11k^2+6k=k(k^3+6k^2+11k+6)=k(k^2(k+1)+5k^2+11k+6)= \\ = k(k^2(k+1)+5k(k+1)+6k+6)=k(k^2(k+1)+5k(k+1)+6(k+1))=\\ =k(k+1)(k^2+5k+6)=k(k+1)(k^2+2k+3k+6)=k(k+1)(k(k+2)+3(k+2))=\\=k(k+1)(k+2)(k+3)$

Т.е. выражение представляет собой произведение четырех последовательных целых чисел.

Разложим число 24 на множители: 24=2·3·4. Очевидно, что среди четырех последовательных целых чисел всегда будут числа, которые делятся на 2, 3 и 4, а значит изначальное выражение делится на 24, что и требовалось доказать.