Question

Помогите пожалуйста решить ряд

Answer 1

Если требуется исследовать ряды на сходимость, то можно в обоих случаях использовать радикальный признак Коши.

1)

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\arcsin^n\frac{\pi}{4n} } =\sqrt[n]{n} \arcsin\frac{\pi}{4n}=(*)$

Здесь встретился довольно редко использующийся в учебных заданиях предел $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$. В курсе анализа доказывается, что этот предел равен 1.

Тогда $(*)=1\cdot arcsin0=0$

Предел меньше 1, поэтому ряд сходится.

2)

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{2n+3}{n+1} \right)^{n^2}} =\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2n+3}{n+1} \right)^{n}=2^{\infty}=\infty$

Ряд расходится.