Question

интеграл dx/(x^2+2x-3)

Answer 1

$\int\limits {\dfrac{dx}{x^2+2x-3}}$

Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла:

$\dfrac{1}{x^2+2x-3}=\dfrac{1}{x^2+2x+1-4}=\dfrac{1}{(x+1)^2-2^2}=\\\\=\dfrac{1}{(x+1-2)(x+1+2)}=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}$

Представим дробь в виде суммы простейших:

$\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}$

Определим коэффициенты А и В. Для этого сложим дроби в правой части:

$\dfrac{A}{x-1} +\dfrac{B}{x+3}=\dfrac{A(x+3)+B(x-1)}{(x-1)(x+3)} =\dfrac{(A+B)x+3A-B}{(x-1)(x+3)}$

Дроби $\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}$ и $\dfrac{(A+B)x+3A-B}{(x-1)(x+3)}$ должны быть равны, следовательно:

$(A+B)x+3A-B=1$

Получаем систему:

$\left\{\begin{array}{l} A+B=0 \\ 3A-B=1 \end{array}$

Складываем уравнения:

$4A=1\Rightarrow A=\dfrac{1}{4}$

$B=-A \Rightarrow B=-\dfrac{1}{4}$

Тогда представление в виде суммы имеет вид:

$\dfrac{1}{x^2+2x-3}=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{1}{4(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+3)}$

Возвращаемся к интегралу:

$\int\limits {\dfrac{dx}{x^2+2x-3}}=\int\limits\left(\dfrac{1}{4(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+3)}\right)dx=\\\\=\dfrac{1}{4}\int\limits\dfrac{dx}{x-1}-\dfrac{1}{4}\int\limits\dfrac{dx}{x+3}=\boxed{\dfrac{1}{4}\ln|x-1|-\dfrac{1}{4}\ln|x+3|+C}$