Question

Решите, пожалуйста, показательное неравенство. Очень срочно

Answer 1

Неравенство равносильно неравенству

$2^x*2^{\sqrt{x}}+(2^x)^2\leq6*(2^{\sqrt{x}})^2$

Пусть $2^x=a, 2^{\sqrt{x}}=b, a>0, b>0$

$ab+a^2\leq6b^2\\a^2+ab-6b^2\leq0\\a^2+3ab-2ab-6b^2\leq0\\a(a+3b)-2b(a+3b)\leq0\\(a+3b)(a-2b)\leq0$

I случай:

$\begin{equation*}\begin{cases}a+3b\leq0\\a-2b\geq0 \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow \begin{equation*}\begin{cases} a\leq-3b\\a\geq2b \end{cases}\end{equation*}$

Так как b > 0, -3b < 0 ⇒ a < 0, но a > 0 - противоречие, значит, неравенство не имеет решений, следовательно, и система тоже не имеет решений.

II случай:

$\begin{equation*}\begin{cases}a+3b\geq0\\a-2b\leq0 \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow\begin{equation*}\begin{cases}a\geq-3b\\a\leq2b \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow\begin{equation*}\begin{cases}\frac{a}{b}\geq-3\\\frac{a}{b}\leq2 \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow\begin{equation*}\begin{cases}\frac{2^x}{2^{\sqrt{x}}}\geq-3\\\frac{2^x}{2^{\sqrt{x}}}\leq2 \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow$

$\Rightarrow \begin{equation*}\begin{cases}2^{x-\sqrt{x}}\geq-3\\ 2^{x-\sqrt{x}}\leq2^1 \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow x-\sqrt{x}\leq1 \Leftrightarrow \sqrt{x}\geq x-1$

Если x < 1, то x ∈ [0; 1). Если x ≥ 1:

$x\geq x^2-2x+1\\x^2-3x+1\leq0\\x^2-3x+1=0\\x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \\ x\in[\frac{3-\sqrt{5}}{2}; \frac{3+\sqrt{5}}{2}]$

Так как $\frac{3-\sqrt{5}}{2}<1$, решением данного случая будет $[1; \frac{3+\sqrt{5}}{2}]$

Объединим и получим ответ.

Ответ: $[0; \frac{3+\sqrt{5}}{2}]$