Question

докажите что при любом натуральном значении n выражение 7^n*2^3n-3^2n кратно 47

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Упростим данное выражение:  

7ⁿ · 2³ⁿ - 3²ⁿ =

= 7ⁿ · (2³)ⁿ - (3²)ⁿ =

= 7ⁿ · 8ⁿ - 9ⁿ =

= (7 · 8)ⁿ - 9ⁿ =

= 56ⁿ - 9ⁿ

Для полученного выражения (56ⁿ - 9ⁿ) применим формулу сокращённого умножения для n-ой степени:

aⁿ - bⁿ = (a - b)((aⁿ⁻¹+aⁿ⁻² b+aⁿ⁻³b²+ ...+ a²bⁿ⁻³+a bⁿ⁻²+ bⁿ⁻¹)

Разложим (56ⁿ - 9ⁿ) на множители:

   56ⁿ - 9ⁿ =

= (56-9)(56ⁿ⁻¹+56ⁿ⁻²·9+56ⁿ⁻³·9²+...+56²·9ⁿ⁻³+56·9ⁿ⁻²+9ⁿ⁻¹) =

= 47 · (56ⁿ⁻¹+56ⁿ⁻²*9+56ⁿ⁻³*9²+...+56²*9ⁿ⁻³+56*9ⁿ⁻²+9ⁿ⁻¹).

Один из сомножителей делится на 47, значит и все произведение делится на 47, что и требовалось доказать.