Question

Найти экстремумы функции

1/4(x-3)^2(x+3)

Подробно молю, пожалуйста.
Вся сложность в взятии производной..

Answer 1

Точка называется экстремумом функции если производная функции в этой точке равна нулю.

$f(x)= \frac{1}{4} * (x-3)^{2} *(x+3)=\frac{1}{4} *(x-3)*(x-3)*(x+3)=\frac{1}{4}* (x^{3}-9x-3 x^{2} +27)\\f'(x)=\frac{1}{4}*(3x^{2}-9-6x)$

$f'(x)=0\\x^{2} -2x-3=0\\x_{1} = 3\\ x_{2} = -1.$

Проверяем, какая из точек является минимумом функции f(x), а какая максимумом.

Если при переходе через точку x1 производная функции меняет знак с плюса на минус, то х1 - точка масимума функции, если с минуса на плюс, то х1 - точка минимума функции.

$f'(-2)= \frac{1}{4} *(3*4-9+12)=15/4$ -знак +

$f'(0) = -9/4$ - знак минус

$f'(4)=\frac{1}{4} *(3*16-9-24)=\frac{15}{4}$ - знак плюс

Таким образом

$f(-1)= \frac{1}{4} * 16*2=8$ - максимум функции

$f(3) = 0$ - минимум функции