Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ПОЖАЛУЙСТА!!!

Доказать что сумма
$2 + {2}^{2} + {2}^{3} + ... + {2}^{2011}$
не делится на 3

Answer 1

$S=2+2^2+2^3+...+2^{2011}=\frac{2\cdot(2^{2011}-1)}{2-1} =2\cdot(2^{2011}-1)$

Допустим, что $(2^{2011}-1)$ делится на 3.

Тогда

$2^{2011}-1=3n\\2^{2011}=3n+1\\n \in \mathbb{N}$

Но степень двойки с нечетным показателем при делении на 3 не может дать остаток 1, а значит первоначальное предположение было неверно и $2^{2011}-1$ не делится на 3, значит и сумма S тоже не делится на 3.